The Duality Theorem for Min-max Functions

The set of min-max functions F : R → R is the least set containing coordinate substitutions and translations and closed under pointwise max, min, and function composition. The Duality Conjecture asserts that the trajectories of a min-max function, considered as a dynamical system, have a linear growth rate (cycle time) and shows how this can be calculated through a representation of F as an infimum of max-plus linear functions. We prove the conjecture using an analogue of Howard’s policy improvement scheme, carried out in a lattice ordered group of germs of affine functions at infinity. The methods yield an efficient algorithm for computing cycle times. LE THÉORÈME DE DUALITÉ POUR LES FONCTIONS MIN-MAX Résumé. L’ensemble des fonctions min-max F : R → R est le plus petit ensemble de fonctions qui contient les substitutions de coordonnées et les translations, et qui est stable par les opérations min et max (point par point), ainsi que par composition. La Conjecture de Dualité affirme que les trajectoires d’un système récurrent gouverné par une dynamique min-max ont un taux de croissance linéaire (temps de cycle), qui se calcule à partir d’une représentation de F comme infimum de fonctions max-plus linéaires. Nous montrons cette conjecture en utilisant une itération sur les politiques à la Howard, à valeurs dans un groupe réticulé de germes de fonctions affines à l’infini. On a ainsi un algorithme efficace pour calculer le temps de cycle. Version française abrégée Nous munissons Rn et l’ensemble des fonctions Rn → Rn de l’ordre partiel usuel (composante par composante). Les bornes sup et inf sont notées ∨ et ∧, respectivement. Nous appellerons substitution une application F : Rn → Rn de la forme F (x)i = xπ(i) ou π est une transformation quelconque de {1, . . . , n} (peut-être non bijective). Une translation est une application de la forme: Rn → Rn, x 7→ x + u, avec u ∈ Rn. L’ensemble des fonctions min-max est le plus petit ensemble de fonctions Rn → Rn contenant les substitutions et les translations, et qui est stable par les opérations binaires ∨,∧ et la composition. Les fonctions min-max comprennent les applications max-plus linéaires, (cf. [4, 1, 15, 7]), qui sont de la forme G(x)i = max1≤j≤n(Aij + xj), A étant une matrice n× n à coefficients dans R∪ {−∞}, avec au moins un coefficient fini par ligne. Elles comprennent aussi les applications min-plus linéaires, définies dualement. Comme les lois ∨ et ∧ distribuent l’une par rapport à l’autre, nous pouvons écrire toute fonction minmax sous la forme (1), où G et H sont des ensembles finis d’applications max-plus et min-plus linéaires, respectivement. On appelle vecteur de temps de cycle de F la quantité (2), avec ξ(k) = F (ξ(k − 1)) pour k ≥ 1 et ξ(0) = x ∈ Rn. Quand elle existe, cette limite ne dépend pas du point initial x, car les fonctions min-max sont Lipschitz de constante 1 pour la norme-sup. Pour les applications max-plus ou min-plus linéaires, l’existence et le calcul du temps de cycle sont explicités dans [8]. Cela résulte de l’analogue max-plus de la théorie de Perron-Frobenius (voir par exemple [1, §3.2.4, §3.7],[15],[7, § 3.7]). Un ensemble S de fonctions min-max est rectangulaire si pour tout G,G′ ∈ S, et pour tout i = 1, . . . , n, la fonction obtenue en remplaçant la i-ème ligne de G par celle de G′ appartient encore à S. Nous noterons S la cloture rectangulaire (plus petit sur-ensemble rectangulaire) de S. Évidemment, on peut prendre le sup ou l’inf sur la cloture rectangulaire sans changer la valeur de F , ce qui donne (3). Comme les fonctions minmax sont monotones, on déduit aisément (4) de (3), pour tout point d’accumulation χ de la suite 1 k × ξ(k). La conjecture de dualité, énoncée par Gunawardena dans [8], affirme que les membres extrèmes de (4) sont égaux. Elle entrâıne l’existence du temps de cycle χ(F ). Nous définissons la relation d’équivalence sur RN, f ∼ g ⇐⇒ ∃K ∈ N, ∀k ≥ K, f(k) = g(k). Nous notons G l’ensemble des germes de fonctions affine en +∞, i.e. l’image de l’ensemble des fonctions affines Appears in: C.R.A.S, t. 326, Série I, p. 43–48, 1998.